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20＄でプールつきは無いと思います。
プールつきで比較的安いと思われるのは
ヒルトンホテル近くのアーミーホテル
タイ湖畔のタンロイホテル
ですが、格安時期でも４０＄以上するでしょう。

一流ホテル周辺のミニホテルに泊まり、ビジター料金（１０＄程度）でプール利用が良いのではないでしょうか。
往復タクシー利用してもこの方がリーズナブルでしょう。

あと郊外の市民プール周辺のミニホテル宿泊と言う手もありますが、ハノイに詳しくなく知人もいなければちょっと無理があります。