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＞giay phep cho nguoi nuoc ngoai thue

これは、外国人に部屋や家を(賃貸で)貸すことが出来る許可証のことです。
これがあるからホームステイOKというわけではないですが、(この許可証を持っているの人は)公安に顔のきく人しか持てませんから、外国人がホームステイしても、まず問題ないでしょう。

＞それとも家の主人が公安に届けさえすれば、どんな家でも泊まれるんですかね。？

公安に届け出て受理されれば、泊まれます。
ただ受理してもらう際に、袖の下を要求されることがあります。