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個人的な意見です。（一般的だと思います。）

サイゴン：一般庶民のベトナム人が「ホーチミン市」を呼ぶとき。

ホーチミン：
ホーチミン主席のこと。ホーチミン市の意味は持たない。
または日本人がホーチミン市のことを略しているとき。

ホーチミンシティー：
下記ベトナム語の「Thanh pho Ho Chi Minh：ホーチミン市」を英語にしたもの。

タンフォー・ホー・チー・ミン（Thanh pho Ho Chi Minh）：
テレビ・新聞・政府・会社会議などで公式に「ホーチミン市」を呼ぶとき。
これ以外のとき、ベトナム人はこの単語が長いので「サイゴン」、
または南部では「タンフォー」と省略する。
北部のベトナム人はしばしばこの長い名称で言っている。
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外国人がサイゴンという分には問題なし。
ニュースキャスターが固有名詞のサイゴン（駅・バス停・新聞・ホテル・歌等）
以外の「ホーチミン市」をサイゴンと繰り返したら交代させられる可能性大。
あくまでも例ですが。

異論も出てくると思いますが、そこまでそれてはいないかと思います。